Обратная матрица как сделать проверку
ac163.ru

Обратная матрица как сделать проверку


Обратная матрица как сделать проверку

Обратная матрица как сделать проверку

Обратная матрица как сделать проверку

» » » Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений.

Матрица $A^{-1}$ называется обратной по отношению к квадратной матрице $A$, если выполнено условие $A^{-1}\cdot A=A\cdot A^{-1}=E$, где $E$ – единичная матрица, порядок которой равен порядку матрицы $A$.

Невырожденная матрица – матрица, определитель которой не равен нулю. Соответственно, вырожденная матрица – та, у которой равен нулю определитель.

Обратная матрица $A^{-1}$ существует тогда и только тогда, когда матрица $A$ – невырожденная. Если обратная матрица $A^{-1}$ существует, то она единственная.

Есть несколько способов нахождения обратной матрицы, и мы рассмотрим два из них. На этой странице будет рассмотрен метод присоединённой матрицы, который полагается стандартным в большинстве курсов высшей математики. Второй способ нахождения обратной матрицы (метод элементарных преобразований), который предполагает использование метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана, рассмотрен во .

Пусть задана матрица $A_{n\times n}$. Для того, чтобы найти обратную матрицу $A^{-1}$, требуется осуществить три шага:

  1. Найти определитель матрицы $A$ и убедиться, что $\Delta A\neq 0$, т.е. что матрица А – невырожденная.
  2. Составить $A_{ij}$ каждого элемента матрицы $A$ и записать матрицу $A_{n\times n}^{}=\left(A_{ij} \right)$ из найденных алгебраических дополнений.
  3. Записать обратную матрицу с учетом формулы $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{}}^T$.

Матрицу ${A^{}}^T$ часто именуют присоединённой (взаимной, союзной) к матрице $A$.

Если решение происходит вручную, то первый способ хорош лишь для матриц сравнительно небольших порядков: второго (), третьего (), четвертого (). Чтобы найти обратную матрицу для матрицы высшего порядка, используются иные методы. Например, метод Гаусса, который рассмотрен во .

Пример №1

Найти матрицу, обратную к матрице $A=\left( \begin{array} {cccc} 5 & -4 &1 & 0 \ 12 &-11 &4 & 0 \ -5 & 58 &4 & 0 \ 3 & -1 & -9 & 0 \end{array} \right)$.

Решение

Так как все элементы четвёртого столбца равны нулю, то $\Delta A=0$ (т.е. матрица $A$ является вырожденной). Так как $\Delta A=0$, то обратной матрицы к матрице $A$ не существует.

Пример №2

Найти матрицу, обратную к матрице $A=\left(\begin{array} {cc} -5 & 7 \ 9 & 8 \end{array}\right)$.

Решение

Используем метод присоединённой матрицы. Сначала найдем заданной матрицы $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin{array} {cc} -5 & 7\ 9 & 8 \end{array}\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Так как $\Delta A \neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим каждого элемента заданной матрицы:

\begin{aligned} & A_{11}=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_{12}=(-1)^3\cdot 9=-9;\ & A_{21}=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_{22}=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\ \end{aligned}

Составляем матрицу из алгебраических дополнений: $A^{}=\left( \begin{array} {cc} 8 & -9\ -7 & -5 \end{array}\right)$.

Транспонируем полученную матрицу: ${A^{}}^T=\left( \begin{array} {cc} 8 & -7\ -9 & -5 \end{array}\right)$ (полученная матрица часто именуется присоединённой или союзной матрицей к матрице $A$). Используя формулу $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{}}^T$, имеем:

$$ A^{-1}=\frac{1}{-103}\cdot \left( \begin{array} {cc} 8 & -7\ -9 & -5 \end{array}\right)=\left( \begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right) $$

Итак, обратная матрица найдена: $A^{-1}=\left( \begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$. Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^{-1}\cdot A=E$ или $A\cdot A^{-1}=E$. Проверим выполнение равенства $A^{-1}\cdot A=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^{-1}$ не в форме $\left( \begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$, а в виде $-\frac{1}{103}\cdot \left( \begin{array} {cc} 8 & -7\ -9 & -5 \end{array}\right)$:

Проверка

Проверка пройдена успешно, обратная матрица $A^{-1}$ найдена верно.

Ответ: $A^{-1}=\left( \begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$.

Пример №3

Найти обратную матрицу для матрицы $A=\left( \begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3 \ -4 & 9 & 4 \ 0 & 3 & 2\end{array} \right)$.

Решение

Начнём с вычисления определителя матрицы $A$. Итак, матрицы $A$ таков:

$$ \Delta A=\left| \begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3 \ -4 & 9 & 4 \ 0 & 3 & 2\end{array} \right| = 18-36+56-12=26. $$

Так как $\Delta A\neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим каждого элемента заданной матрицы:

Алгебраические дополнения

Составляем матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем её:

$$ A^=\left( \begin{array} {ccc} 6 & 8 & -12 \ -5 & 2 & -3 \ 1 & -16 & 37\end{array} \right); \; {A^}^T=\left( \begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \ 8 & 2 & -16 \ -12 & -3 & 37\end{array} \right) $$

Используя формулу $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{}}^T$, получим:

$$ A^{-1}=\frac{1}{26}\cdot \left( \begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \ 8 & 2 & -16 \ -12 & -3 & 37\end{array} \right)= \left( \begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right) $$

Итак, $A^{-1}=\left( \begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$. Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^{-1}\cdot A=E$ или $A\cdot A^{-1}=E$. Проверим выполнение равенства $A\cdot A^{-1}=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^{-1}$ не в форме $\left( \begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$, а в виде $\frac{1}{26}\cdot \left( \begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \ 8 & 2 & -16 \ -12 & -3 & 37\end{array} \right)$:

Проверка

Проверка пройдена успешно, обратная матрица $A^{-1}$ найдена верно.

Ответ: $A^{-1}=\left( \begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$.

Пример №4

Найти матрицу, обратную матрице $A=\left( \begin{array} {cccc} 6 & -5 & 8 & 4\ 9 & 7 & 5 & 2 \ 7 & 5 & 3 & 7\ -4 & 8 & -8 & -3 \end{array} \right)$.

Решение

Для матрицы четвёртого порядка нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений несколько затруднительно. Однако такие примеры в контрольных работах встречаются.

Чтобы найти обратную матрицу, для начала нужно вычислить определитель матрицы $A$. Лучше всего в данной ситуации это сделать с помощью . Выбираем любую строку или столбец и находим алгебраические дополнения каждого элемента избранной строки или столбца.

Например, для первой строки получим:

Алгебраические дополнения

Определитель матрицы $A$ вычислим по следующей формуле:

$$ \Delta A=a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13}+a_{14}\cdot A_{14}=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

А далее продолжаем находить алгебраические дополнения:

Алгебраические дополнения

Матрица из алгебраических дополнений: $A^=\left(\begin{array}{cccc} 556 & -300 & -536 & -112\ -77 & 50 & 87 & 4 \ -93 & 50 & 83 & 36\ 473 & -250 & -463 & -96\end{array}\right)$.

Присоединённая матрица: ${A^}^T=\left(\begin{array} {cccc} 556 & -77 & -93 & 473\ -300 & 50 & 50 & -250 \ -536 & 87 & 83 & -463\ -112 & 4 & 36 & -96\end{array}\right)$

Обратная матрица:

$$ A^{-1}=\frac{1}{100}\cdot \left( \begin{array} {cccc} 556 & -77 & -93 & 473\ -300 & 50 & 50 & -250 \ -536 & 87 & 83 & -463\ -112 & 4 & 36 & -96 \end{array} \right)= \left( \begin{array} {cccc} 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end{array} \right) $$

Проверка:

Проверка

Следовательно, обратная матрица найдена верно.

Ответ: $A^{-1}=\left( \begin{array} {cccc} 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end{array} \right)$.

Во будет рассмотрен иной способ нахождения обратной матрицы, который предполагает использование преобразований метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана.

Вернуться к списку тем Задать вопрос на форуме Мой аккаунт ВКонтакте Записаться на курс онлайн-занятий
Источник: http://math1.ru/education/matrix/inverse0.html

Обратная матрица как сделать проверку фото



Обратная матрица как сделать проверку

Обратная матрица как сделать проверку

Обратная матрица как сделать проверку

Обратная матрица как сделать проверку

Обратная матрица как сделать проверку

Обратная матрица как сделать проверку

Обратная матрица как сделать проверку

Обратная матрица как сделать проверку

Обратная матрица как сделать проверку

Обратная матрица как сделать проверку

Обратная матрица как сделать проверку

Обратная матрица как сделать проверку

Обратная матрица как сделать проверку

Обратная матрица как сделать проверку

Обратная матрица как сделать проверку



Меню

Главная

Поздравления для александры от коллег
Сделать вазон из бетона своими руками
Поздравление с днём кино
Где находится cache
Как сделать машины тест
Как интересно сделать фото
Поздравление 33 года картинки
Поздравления к 60 летию свата
Как сделать антистресс из орбиз
Сделать сумку своими руками фото